ریمان که شاگرد گاوس بود، با معرفی فضای جدیدی به نام رویه ریمانی، انجام دادن هندسه مختلط را که در زمان گاوس ممکن نبود، ممکن ساخت.
تا قبل از وی یک رویه یا خم جبری چه بعنوان شی هندسی داخل فضای دکارتی و چه به عنوان یک فضا هندسی، صرفا با گراف یک تابع جبری مشخص می شد و به همین دلیل گراف تابع های تحلیلی مختلط مقدار
تا قبل از گاوس، ریاضیدانان در داخل مفهوم فضا زندگی می کردند و متوجه وجود آن و قابل مطالعه بودن آن نبودند مانند ماهی در آب! از زمان دکارت خمهای جبری و رویههای جبری، مکان هندسی صفرهای چند جملهایها، تنها اشیا هندسی بودند که به واسطه نحوه نشستنشان در فضا دکارتی تعریف می شدند. گاوس اولین کسی است در تاریخ ریاضی که خود مفهوم فضا، یعنی دنیایی که در آن مشغول هندسهورزی بودهاند، یک موجود ریاضی زنده و قابل مطالعه است. مطرح شدن مفهوم انحنای گاوسی توسط او و مستقل بودن انحنا از نحوه نشستن شی هندسی در فضا و همچنین یاداشتهای منتشر نشده اش درباره هندسه نااقلیدسی، کاندیدهای مطرح شدن این ایده توسط گاوس است. من البته نمی دانم که در ابتدا گاوس خط شکنی کرده و در رویایش به مفهوم فضا فکرده و در اثر آن به قضیه معروفش رسیده یا این صرفا یک نتیجه طبیعی بعد از کشف آن قضیه است. پرسش درباره چیستی فضا در حال تبدیل شدن به یک پرسش خودآگاهانه است. قضیه معروف گاوس درباره ذاتی بودن انحنا برای یک رویه جبری اثر مهمی در هندسه دیفرانسل که شاخه به روز آن زمان بود گذاشت. (نیاز است درباره چگونگی هندسه ورزی آن زمان توصیفی ارائه شود)
تجربه هندسه ورزی، مانند انجام دادن هندسه روی یک زمین محکم و مشخص است، زیر پای آدم محکم است و به این محکم بودن آنقدر عادت کرده که حتی متوجه آن نیست! در واقع متوجه نیستیم که هندسه دارد روی مفهوم میدان استوار می شود و روی دو میدان مشخص حقیقی و مختلط. اگر زیر پایش را بکشیم و هندسه را با تجربه ای از معلق بودن در فضا انجام دهیم، هندسه ورزی ما می شود هندسه جبری، با چالش حیاتی از تعادل و زندگی معلق!